自1970年Propson^[3]提出阀调节理论以来，通过调节阀门控制管道中的水力瞬变过程成为了研究方向。随后，Gillessen^[4]、陈明^[5]和Choi等^[6]进一步对阀门调节理论应用于阀门启闭及事故停泵等情况下的水锤防护进行了详细论述。杨丽明等^[7]对泵站输水工程中缓闭止回阀的使用范围进行了分析，并针对有无设置气压式调压室的不同泵站，分析了缓闭止回阀的水锤防护效果。王念慎^[8]等对多功能水泵控制阀的设计原理进行了阐述，这种阀门在其主阀板上留有泄流孔。在发生事故停泵时，主阀板以较快速度关闭，允许一部分水流通过泄流孔泄流，最后再通过可调节流速的旁通管控制泄流孔的关闭时间。这样既能保证较小流量的倒转水流不至于使水泵的反转速度过大，又能缓和关阀带来的水锤冲击。王学芳等^[9]在专著《工业管道中的水锤》一书中指出了传统普通止回阀在水锤防护方面的缺陷，并详细阐述了防水锤型止回阀和防水锤型偏心蝶阀的结构特点、阻力特性试验以及关阀特性优化等研究。Zhu等^[10]还研究了利用优化的复合型空气阀设置参数和两阶段液控蝶阀联合控制停泵水锤，取得了良好效果。王丽^[11]、郭亚丽^[12]等均针对两阶段缓闭式液控阀的水锤防护特性，分析研究了两阶段关闭规律优化问题，对快关时间、快关角度、慢关时间和慢关角度对阀门出口水压以及沿程压力包络的影响进行了分析，提出的最优关闭规律均能在一定的关闭时间内，有效降低关阀时产生的水击压力，但研究多针对某一特定工程，难以直接套用于其他工程。从上述研究可以看出，目前对控制阀的水锤防护研究多集中于控制阀的结构设计优化以及关闭规律的优化方面，对于控制阀理想阻力特性的研究较少。Tørdal^[13]和Kodura^[14]也对压力管道的水力瞬变过程进行了研究，认为阀门的关阀特性是模拟关阀水锤的关键，它的误差是造成水力过渡过程数值模拟结果与实验结果偏差较大的重要原因之一。杨开林等^[15]针对高落差的重力流输水工程中的水锤防护难题，提出了一种能够有效控制水击压力的多喷孔套筒式调流阀的设计原理，可显著改善管道中水击压力情况或缩短阀门控制时间，给泵站有压管道输水工程的水击控制提供了一个新思路。

本文以水泵出口控制阀为研究对象，通过理论推导和数值模拟相结合的研究手段，建立水泵出口控制阀门的相对流量系数与阀门相对开度的理想关系模型，保证事故停泵阀门关闭过程中既能抑制水泵机组的飞逸反转，又能使得水击压力不至上升过高。并且通过数值模拟分析阀门特性对泵站水力过渡过程的影响，对比分析几种典型的阀门特性，验证提出的理想阀门特性的水锤控制效果。研究成果对于调水工程中控制阀的合理选型，以及改进控制阀设计理念具有重要的指导意义。

泵站压力管路中水流动态特性可由水流运动方程和连续方程等一对偏微分方程组来描述，利用特征线法可将其转化为如下所示的有限差分方程，也称为相容性方程^[16]：

Error parsing MathML$\text{Error parsing MathML}$ （1）

Error parsing MathML$\text{Error parsing MathML}$ （2）

式中：H_pi、Q_pi分别为t时刻的未知水头和流量；[Math Processing Error]$C{}_p=H{}_{i-1}+BQ{}_{i-1}$ 、[Math Processing Error]$C{}_m=H{}_{i+1}-BQ{}_{i+1}$ 、[Math Processing Error]$B{}_p=B+R\left|Q{}_{i-1}\right|$ 、[Math Processing Error]$B{}_m=B+R\left|Q{}_{i+1}\right|$ 是t−Δt$t-\text{Δ}t$ 时刻的已知量；其中i为管道内计算截面的编号；B=a/(gA)$B=a/\left(gA\right)$ ，[Math Processing Error]$R=f\text{Δ}x/\left(2gDA{}^2\right)$ ；a为水击波速(m/s)；g为重力加速度(m/s²)；A为断面面积(m²)；f为摩阻系数；D为管路直径(m)；Δx$\text{Δ}x$ 为空间步长(m)；Δt$\text{Δ}t$ 为时间步长(s)。

水泵的边界条件可由力矩平衡方程和水头平衡方程来描述，它们是一组非线性方程，在求解时需要运用水泵的全特性曲线。

由于水泵主要工况参数之间的关系复杂，难以直接用数学函数表达，而通过将转轮模型试验测得的离散数据点绘制成曲线的方式来表达，这种描述不同运行工况下水泵的过流量Q、水头H、转速N和力矩M等工况参数相互之间关系的曲线，称为全特性曲线。为了方便数值求解，通常需要对全特性曲线开展相应的数学变换。采用常用的Suter变换，它的变换形式如下：

[Math Processing Error]$WH\left(x\right)=\frac{h}{q{}^2+n{}^2}$ （3）

[Math Processing Error]$WB\left(x\right)=\frac{m}{q{}^2+n{}^2}$ （4）

[Math Processing Error]$\{\begin{array}{c}x=\text{a}\text{r}\text{c}\tan \frac{q}{n}\begin{array}{cc}& \end{array}n\ge 0\\ x=\pi +\text{a}\text{r}\text{c}\tan \frac{q}{n}\begin{array}{cc}& \end{array}n<0\end{array}$ （5）

式中：[Math Processing Error]$h=H/H{}_r$ 为相对水头；[Math Processing Error]$q=Q/Q{}_r$ 为相对流量；[Math Processing Error]$n=N/N{}_r$ 为相对转速；N为转速(r/min)；[Math Processing Error]$m=M/M{}_r$ 为相对力矩；M为水泵的轴力矩(N·m)；下标r代表额定值。

由于转轮全特性模型试验耗时耗力，多数情况下，水泵厂家不提供水泵的全特性曲线。这时，可利用现有的水泵全特性曲线数据插值获得。一般而言，比转速相同的水泵是相似的，其全特性曲线相近，Suter变换保持了水泵的相似关系。水泵比转速的定义如下：

[Math Processing Error]$n{}_s=\frac{3.65N\sqrt{Q}}{H{}^{3/4}}$ （6）

对于双吸泵，应以Q/2$Q/2$ 代替式（6）中的Q计算水泵的比转速。

水泵机组的瞬时力矩可由下式表示：

[Math Processing Error]$n=n{}_0+\frac{m{}_g+m{}_{g0}-\left(m+m{}_0\right)}{2T{}_a}\text{Δ}t$ （7）

式中：下标0代表t = t₀时刻；m_g = M_g/M_r为电磁阻力矩相对值；M_g为电磁阻力矩(N·m)；T_a为机组惯性时间常数(s)。

当水泵机组事故断电时，电磁阻力矩M_g = 0，则由式（7）可得

[Math Processing Error]$n=n{}_0-\frac{m+m{}_0}{2T{}_a}\text{Δ}t$ （8）

根据图1所示的水泵边界示意图和文献[17]可知，水泵水头可表示为：

[Math Processing Error]$H{}_p=C{}_{m2}-C{}_{p1}+\left(B{}_{p1}+B{}_{m2}\right)Q{}_{r}q+C{}_h\left|q\right|q$ （9）

式中：下标1、2分别代表出水管进口断面和吸水管出口断面；[Math Processing Error]$C{}_h=Q{}_r^2\left[1/\left(2gA{}_2^2\right)-1/\left(2gA{}_1^2\right)\right]$ 。

联立式（3）~式（5）、式（8）和式（9），即可求出水泵节点的瞬态参数H_p、Q_p、N_p和M_p等。

根据图2所示的泵站输水工程示意图，以水泵安装高程断面作为基准面，在进水池断面1-1和出水池断面2-2建立伯努利能量方程，有：

[Math Processing Error]$Z{}_1+\frac{P{}_1}{\rho g}+\frac{\alpha {}_{1}Q{}^2}{2gA{}_1{}^2}+H{}_t=Z{}_2+\frac{P{}_2}{\rho g}+\frac{\alpha {}_{2}Q{}^2}{2gA{}_2{}^2}+h{}_f+\text{Δ}H$ （10）

式中：下标1，2分别代表进、出水池断面；Z$Z$ 为相对于基准断面的高程(m)；P$P$ 为断面压强(Pa)；ρ$\rho$ 为水的密度(kg/m³)；α$\alpha$ 为动能修正系数，一般可取1；[Math Processing Error]$H{}_t$ 为水泵的工作扬程(m)；[Math Processing Error]$h{}_f=SQ{}^2$ 为管道水头损失(m)；S为管道阻抗系数；[Math Processing Error] 为控制阀水头损失(m)；ζ$\zeta$ 为阀门阻力系数；[Math Processing Error]$A{}_V$ 为阀门流通面积(m²)。

[Math Processing Error]$P{}_1$ 、[Math Processing Error]$P{}_2$ 为进、出水池表面大气压力，由于进、出水池表面大气压力差别较小，可认为[Math Processing Error]$P{}_1=P{}_2$ ；一般而言，断面行近流速水头[Math Processing Error]$\alpha {}_{1}Q{}^2/\left(2gA{}_1{}^2\right)$ 、[Math Processing Error]$\alpha {}_{4}Q{}^2/\left(2gA{}_2{}^2\right)$ 很小，可忽略不计。则由式（10）可得

[Math Processing Error]$H{}_t=\text{Δ}Z+SQ{}^2+\text{Δ}H$ （11）

式中：[Math Processing Error]$\text{Δ}Z=Z{}_2-Z{}_1$ 。

令[Math Processing Error]$\tau =\sqrt{\zeta {}_a/\zeta }$ ，则控制阀的水头损失可改写为：

[Math Processing Error]$\text{Δ}H=\frac{\text{Δ}H{}_a}{Q{}_a}\frac{Q{}^2}{\tau {}^2}$ （12）

式中：下标a代表阀门全开；τ$\tau$ 为相对流量系数。

假定上、下游水位不变，即ΔZ=Const$\text{Δ}Z=\text{C}\text{o}\text{n}\text{s}\text{t}$ ；当阀门全开时，由式（11）可得：

[Math Processing Error]$S=\frac{H{}_{ta}-\text{Δ}Z-\text{Δ}H{}_a}{Q{}_a{}^2}$ （13）

根据文献^[15]的研究可知，当阀门的过流量与阀门相对开度y呈线性关系时，此时，阀门在关闭过程中的流量变化平稳，关阀水锤最小。因此，可假设理想的情况是

[Math Processing Error]$Q=Q{}_{a}y$ （14）

式中：y为阀门的行程相对开度。

将式（12）~式（14）代入式（11），移项可得

[Math Processing Error]$H{}_t=\text{Δ}Z+\left(H{}_{ta}-\text{Δ}Z-\text{Δ}H{}_a\right)y{}^2+\frac{\text{Δ}H{}_a}{\tau {}^2}y{}^2$ （15）

整理可得水泵出口控制阀相对流量系数τ$\tau$ 与相对开度y的理想关系如下：

[Math Processing Error]$\tau =y\sqrt{\frac{\text{Δ}H{}_a}{H{}_t-\text{Δ}Z-\left(H{}_{ta}-\text{Δ}Z-\text{Δ}H{}_a\right)y{}^2}}$ （16）

当阀门的初始开度不同，水泵的工作扬程H_t也不同，则根据式（16）可知，控制阀的理想特性关系随初始开度变化而变化。当阀门初始开度为1时，[Math Processing Error]$H{}_t=H{}_{ta}$ ，则有

[Math Processing Error]$\tau =y\sqrt{\frac{\text{Δ}H{}_a}{H{}_{ta}-\text{Δ}Z-\left(H{}_{ta}-\text{Δ}Z-\text{Δ}H{}_a\right)y{}^2}}$ （17）

当水泵出口控制阀满足式（17）的理想特性关系时，同样关阀时间的情况下引起的关阀水锤最小。图3展示了理想情况下水泵出口控制阀的相对流量系数τ与阀门相对开度y的关系曲线。从图中可以看出，水泵出口控制阀的理想特性曲线是下凹型曲线。值得注意的是，上述理想特性是基于恒定总流的能量方程推导而得的，当发生事故停泵时，受管道水击及水泵全特性的影响，阀门过流量与阀门相对开度并不呈线性变化。

某地下泵站设计安装5台单级双吸卧式离心泵，三工两备，单泵设计流量1.05 m³/s，设计扬程130 m，额定转速993 r/min，比转速68.21，机组飞轮力矩GD²为1116 kg·m²。工程由5根直径DN800 mm的进水钢管从进水池取水，经机组后，由5根直径DN700 mm的出水支管汇合成一根DN1800 mm的总管后垂直出厂房。水泵出口控制阀采用DN700 mm的液控半球阀，全开时的阀门阻力系数[Math Processing Error]$\zeta {}_a=0.07$ 。泵站布置示意图如图4所示，管道和水泵机组的特征参数分别见表1和表2，采用调整波速法确定管道分段数，调整后水击波速的相对误差最大值仅为2.5%，在允许偏差范围内。

计算工况为：进水池水位为1264.65 m，下游出水池水位为1395.00 m，三台工作水泵正常运行，1 s后同时突然事故掉电，水泵出口控制阀采用48 s线性关闭规律。

对图5四种典型阀门特性下的事故停泵过程进行水力过渡过程数值模拟，计算时间步长Δt$\text{Δ}t$ 取为0.001 s，其中曲线4的下凹曲线为控制阀的理想特性曲线。通过稳态计算，首先得到阀门全开时的过阀损失[Math Processing Error]$\text{Δ}H{}_a$ 和水泵的工作扬程[Math Processing Error]$H{}_{ta}$ ，然后将本工程参数ΔZ=130.35m$\text{Δ}Z=130.35\text{m}$ 、[Math Processing Error]$\text{Δ}H{}_a=0.02\text{m}$ 和[Math Processing Error]$H{}_{ta}=130.66\text{m}$ 代入式（17），可得本工程控制阀的理想特性为：

[Math Processing Error]$\tau =y\sqrt{\frac{0.02}{0.31-0.29y{}^2}}$ （18）

模拟得到的控制阀出口压力变化过程及理想阀门特性下的压力包络见图6和图7，控制阀出口和管路沿线压力极值结果见表3。从中可以看出，当控制阀特性采用上凸特性时，管路沿线最大水压达到210.31m，超过了水泵出口额定压力（135.70 m）的1.5倍，不满足规范要求，因此，在进行控制阀选型时，应避免选择上凸形阀门特性；当采用线性特性时，管路沿线最大水压达到185.32 m，约为水泵出口额定压力的1.37倍，管道承压仍然很大，导致管道投资增加；当采用特性曲线3和特性曲线4的下凹特性时，管路沿线最大水压显著减少，仅分别为水泵出口额定压力的1.17倍和1.12倍，理想的特性曲线4较最不利的上凸特性最大水压降低了约60 m水头，可极大地降低管道投资，表明理想的控制阀特性应为下凹形；此外，控制阀采用下凹形特性对于管道中的最小压力也是有利的，较最不利的上凸形特性最小水压提升了约9 m水头，有效抑制了管路中负压的产生。

针对泵站输水工程中水泵出口控制阀的选型问题，本文通过理论推导，建立了水泵出口控制阀门的相对流量系数与阀门相对开度的理想关系模型。并基于工程实例，通过水力过渡过程数值模拟，对比分析了几种典型的阀门特性，得到以下结论：

（1）控制阀特性是泵站水力过渡过程的重要影响因素，理想的控制阀特性应为下凹形曲线。因此，在泵站工程的控制阀选型中，应尽量选择特性曲线接近理想下凹形曲线的控制阀；

（2）当控制阀特性采用上凸特性时，管路沿线最大水压很大，甚至超过水泵出口额定压力的1.5倍，易造成管道投资显著增加。因此，在进行控制阀选型时，应避免选择上凸形阀门特性；

（3）控制阀采用下凹形特性对于提升管道中的最小压力也是有利的，可有效抑制管路中负压的产生。